Paul Schatz fand durch ein Würfel-Modell zu einem Thema, dass ihn den Rest seines Lebens intensiv beschäfdtigte: die Umstülpung. Ausgegangen war er ursprünglich von einem Dodekaeder.
Bei der Konstruktion seines Meisterstücks fand Alexander Heinz heraus, dass sich der Stülpring – das bewegliche Herzstück des Schatzwürfels – in bestimmten Positionen an jeden der Platonischen Körper anschmiegt – mal von innen, mal von außen.
In seinem Referat anläßlich des Paul-Schatz-Symposiums führte er diese Entdeckung anschaulich an eigenen Modellen vor. Der durchgängige Bewegungs-Ablauf durchläuft dabei 32 Stationen, an denen eine „anlehnende“ Übereinstimmung des Würfelgürtels mit einem jeweiligen Platonischen Körper besteht. Vier Stationen zeigen ein Muster aus ebenen Waben, bzw. regulären Dreiecken, die – unter einem bestimmten Blickwinkel – als Sonderfälle der Platonischen Körper gelten können.
Diese, rein an Modellen gefundenen Verhältnisse können streng geometrisch nachvollzogen werden.